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von Tim Varelmann
Die ersten beiden Teile dieser Serie haben ein vereinfachtes Modell einer Anlage zur Aluminiumherstellung beschrieben. Dieses Modell wollen wir nun nutzen, um den Stromverbrauch optimal an die Strompreise vom 25. Januar 2018 anzupassen. Wie im ersten Teil dieser Serie erwähnt, haben große Stromverbraucher Zugang zum sogenannten Day-Ahead Markt. Dies ermöglicht ihren Stromverbrauch schon einen Tag im Voraus zu planen, da die Strompreise für eines Tages bereits zur Mittagszeit des Vortages festgelegt werden. In der Praxis sind sehr genaue Vorhersagen der Strompreise für mehr als einen Tag berechenbar, so dass die reale Produktionsplanung oft einen größeren Planungshorizont berücksichtigt. Hier konzentrieren wir uns trotzdem auf einen einzigen Tag.
Viele gängige Optimierungsalgorithmen sind bereits in Softwarepaketen implementiert, die entweder als Open-Source-Software erhältlich sind oder kommerziell vertrieben werden. Bevor man für ein gegebenes Modell einen dazu passenden Algorithmus zum Lösen des Problems wählt, lohnt es sich, genauer zu untersuchen welche Eigenschaften die gegebene Modellformulierung hat. Wir werden sehen, dass kleine Änderungen am gegebenen Modell wichtige Modelleigenschaften so ändern können, dass das Problem leichter zu lösen ist.
Die einfachste Kategorie von Optimierungsproblemen sind LPs – Lineare Probleme. LPs können mit sehr leistungsfähigen Algorithmen gelöst werden, die im Laufe mehrerer Jahrzehnte gereift sind. Außerdem werden viele kleine LPs in Algorithmen zur Lösung von MILPs genutzt. MILP steht für Mixed-Integer Linear Program, oder auf Deutsch: gemischt-ganzzahlige lineare Probleme. Bei solchen Problemen haben einige Variablen die besondere Einschränkung, dass ihre Werte ganze Zahlen sein müssen. Diese Eigenschaft macht MILPs schwieriger zu lösen als LPs. Die Schwierigkeit eines Optimierungsproblems steigt aber auch durch nichtlineare Terme im Modell. Beispiele für nichtlineare Verwendungen einer Variablen x sind x2, sin(x) und log(x). Ein solches Problem heißt NLP – nichtlineares Problem. Es ist generell schwer zu sagen, ob NLPs oder MILPs schwieriger zu lösen sind. Algorithmen zur Lösung von NLPs und MILPs können heutzutage viele praktische Anwendungsprobleme mit akzeptablem Rechenaufwand zufriedenstellend lösen. Eine Problemkategorie, die noch schwieriger zu lösen ist, sind Probleme, die sowohl Nichtlinearitäten als auch ganzzahlige Variablen enthalten. Solche Probleme nennt man MINLP – auf Deutsch: gemischt-ganzzahlige, nichtlineare Probleme. Aktuelle Löser können bereits einige praktisch relevante Probleme lösen, aber die Algorithmen zur Lösung allgemeiner MINLPs sind noch nicht einmal annähernd so ausgereift wie die Algorithmen zur Lösung von Formulierungen aus den vorherigen Kategorien.
Das in Teil 2 vorgestellte Modell verwendet die Entscheidungsvariablen E[t], T[t] und mAlu[t] in linearen Termen – mit einer Ausnahme in der Beziehung zwischen Stromverbrauch und produziertem Aluminium:
mAlu[t] = a3*E[t]3 + a2*E[t]2 + a1*E[t]
Hier wird E[t] in der dritten und zweiten Potenz verwendet, was die Modellformulierung zu einem NLP macht, da wir zwar nichtlineare Terme, aber keine ganzzahligen Variablen haben. Diese Formulierung ist aber nicht in Stein gemeißelt. Man kann die nichtlineare Funktion als stückweise lineare Funktion annähern:
In diesem Bild wird sichtbar, dass die stückweise lineare Beschreibung eine Annäherung an die ursprünglich nichtlineare Funktion ist. Zur Annäherung können wir aber mehr als drei Teilstücke verwenden, um die Annäherung beliebig genau zu machen. Schäfer et al. haben in [1] 15 Teilstücke verwendet, um eine hochgenaue Approximation der ursprünglich nichtlinearen Formulierung zu gewährleisten. Durch die Umformulierung in [1] wurde das Problem von einem NLP in ein MILP umgewandelt, welches Schäfer et al. leichter zu lösen fanden. Ausgehend von der MILP-Formulierung konnte ich eine weitere Umformulierung durchführen. In [2] habe ich einen zusätzlichen Trick veröffentlicht, um das MILP als LP umzuformulieren, ich musste also keine ganzzahligen Variablen verwenden. Dies hat zur Folge, dass die Lösung des LP weniger als ein Viertel der Laufzeit benötigt, die für die Lösung des MILP erforderlich ist, obwohl das MILP bereits schneller lösbar war als die NLP-Formulierung.
Diese Anwendung ist ein gutes Beispiel dafür, wie wichtig es ist, die Struktur eines Modells sorgfältig zu untersuchen. Wir hätten die NLP-Formulierung einfach in einen NLP-Solver geben können und nach einiger Rechenzeit wahrscheinlich einen optimalen Produktionsplan erhalten. Die Suche nach tolerierbaren Näherungen und andere Tricks führten zur Umformulierung des ursprünglichen NLP als einfachstes mögliches Problem, nämlich als LP. Dies ermöglicht eine sehr effiziente Lösung des Produktionsplanungsproblems mit mächtigen Algorithmen. Darüber hinaus hat die LP-Formulierung weitere nützliche theoretische Eigenschaften, die es erlauben, das Produktionsplanungsproblem in eine andere, noch größere Entscheidungsfindung zu integrieren, aber das ist ein sehr wissenschaftliches Thema [2].
Nun werfen wir einen Blick auf einen optimalen Produktionsplan für das Strompreisprofil vom 25.01.2018:
Man sieht, dass das Aluminiumwerk während einem Großteil der Nacht, in der der Strom günstig ist, mit maximaler Kapazität produziert. Wenn es dann Tag wird, kann das Aluminiumwerk seinen Stromverbrauch während der Spitzenzeiten reduzieren und so das Stromnetz entlasten und seine Stromrechnung reduzieren. Der Durchschnittspreis am 25. Januar 2018 lag knapp unter 33 Euro/MWh. Eine konstante Produktionsstrategie mit E0 von 90 MWh führt zu Stromkosten von über 71 000 Euro an diesem Tag. Unser optimaler Produktionsplan hingegen senkt die Stromkosten um rund 11 500 Euro, knapp unterhalb von 60 000 Euro. Dies bedeutet eine Kostenverbesserung von über 15 %, wobei die Sicherheit jederzeit gewährleistet und das Produktionsziel erreicht wird!
Hast du ein schwieriges Modell oder willst du eine schwierige Modellerweiterung vornehmen? Um über 15 % reduzierte Energiekosten klingen attraktiv? Vielleicht brauchst du nur die richtige Modellformulierung! Ich bin gerne bereit, meine Expertise einzubringen, wenn du von deiner Herausforderung erzählst.
Referenzen:
[1] Schäfer, P., Westerholt, H.G., Schweidtmann, A.M., Ilieva, S., Mitsos, A., 2019. Model-based bidding strategies on the primary balancing market for energy-intense processes. Comput. Chem. Eng. 120, 4–14.
[2] Varelmann, T., Erwes, N., Schäfer, P., Mitsos, A., 2021, Simultaneously optimizing bidding strategy in pay-as-bid-markets and production scheduling. Comput. Chem. Eng. 157, 107610.
Dank an Fabian Viefhues für das Korrekturlesen dieses Artikels und seine aufmerksamen Hinweise.
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Im Sommer habe ich meine Promotionsurkunde bekommen, die den Erfolg meiner Forschung im Bereich der Entwicklung mathematischer Optimierungsalgorithmen und -software bescheinigt. Zu diesem Anlass habe ich über meinen bisherigen Weg nachgedacht und darüber, was ich anders machen würde - hier ist das Ergebnis.
